* Suite arithmético-géométrique

Exercice 1

On considère la suite  `(u_n)` définie par \(u_0 = 20\) et, pour tout entier naturel  `n` , par \(u_{n+1} = \displaystyle\frac{3}{4}u_n + 6.\)

1. a. Calculer  `u_1` et `u_2` .
    b. Conjecturer le sens de variation de la suite `(u_n)` .

2. a. Montrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel `n` , on a l’inégalité \(u_n \leqslant u_{n+1}\leqslant 24\) .
     b. En déduire que la suite `(u_n)`  est convergente.

3. On considère la suite `(v_n)`  définie, pour tout entier naturel `n` , par `v_n=u_n-24` .
    a. Montrer que la suite `(v_n)`  est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    b. Exprimer, pour tout entier naturel  \(n\) , \(v_n\)  puis `u_n`  en fonction de `n` .
    c. Calculer la limite de la suite `(u_n)` .

Exercice 2  (d 'après BAC)

Le directeur d’une réserve marine a recensé \(3\,000\) cétacés dans cette réserve au \(1^{\text{er}}\) juin 2023.
Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à \(2\,000\) .
Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

• entre le \(1^{\text{er}}\) juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine ;
  
• entre le \(1^{\text{er}}\)  novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5 % de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.
  

On modélise l’évolution du nombre de cétacés par une suite `(u_n)` . Selon ce modèle, pour tout entier naturel `n` ,  `u_n` désigne le nombre de cétacés au \(1^{\text{er}}\) juin de l’année `2023+n` . On a donc \(u_0=3\,000\) .

1. Calculer `u_1`  et `u_2`  et conjecturer la monotonie de la suite `(u_n)` .

2. Justifier que, pour tout entier naturel `n` , `u_{n+1} = 0, 95u_n + 76` .

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel `n` , \(u_n \geqslant u_{n+1} \geqslant 1\,520\) .
    b. Justifier que la suite `(u_n)` est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.

4. On désigne par  `(v_n)` la suite définie par, pour tout entier naturel `n` , \(v_n = u_n − 1\,520\) .
    a. Démontrer que la suite  `(v_n)`  est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    b. En déduire que, pour tout entier naturel `n` , \(u_n = 1480 × 0, 95^n + 1\,520\) .
    c. Déterminer la limite de la suite `(u_n)` .

5. a. Peut-on affirmer que la réserve fermera un jour ses portes ?
    b. Si oui, écrire un algorithme permettant de connaître, selon ce modèle, l'année de fermeture de la réserve.